標準出力先をファイルにリダイレクトすることはよくありますが、標準エラー出力を使う機会は意外に少ないです。
しかしツールやパッケージ製品になると標準エラー出力も活用されているようです。
でも明らかにエラーじゃない内容が標準エラー出力されるってどうかと思いますが・・・。
(そんな製品があるわけですよ)
パイプを使う
リダイレクト先が画面かファイルという狭い選択肢だとログ出力も設計に悩むところですね。
そこで標準エラー出力の内容をファイルではなく、パイプで他のコマンドに渡してみます。
ファイルへの出力と同じ要領でできます。
ファイルへのリダイレクトについては過去に下記の記事を書いたのでこちらを参考にしてもらえればと思います。

リダイレクトとファイルディスクリプタ今回はリダイレクトのお話です。
リダイレクトといっても、Http リダイレクトとは別です。
プログラムの入力元や出力先を通常とは違う...
ちなみに、下記の例は bash を前提としています。
標準出力と標準エラー出力の両方をパイプで渡す
1 | $ rilakkuma.sh 2>&1 | sort | uniq |
標準エラー出力のみをパイプで渡す
1 | $ rilakkuma.sh 2>&1 > /dev/null | sort | uniq |